Class 10 Math Half Yearly Solved Paper 2025
कक्षा 10वीं अर्द्ध वार्षिक परीक्षा, 2025–26
Class 10th Half Yearly Examination, 2025–26
गणित / MATHS [1003]
सामान्य निर्देश / General Instructions:
- परीक्षार्थी प्रश्न-पत्र के पहले पृष्ठ पर अपना अनुक्रमांक अवश्य लिखें। Candidate must write his/her Roll Number on the first page of the Question Paper.
- प्रत्येक प्रश्न के सामने उसका अंक भार अंकित है। Marks of every question are indicated alongside.
- सभी प्रश्न हल करना अनिवार्य है। All questions are compulsory.
खण्ड – अ / Section – A
प्र.1 वस्तुनिष्ठ प्रश्न / Objective type questions (प्रत्येक 1 अंक)
(i) 26 और 91 का HCF है –
HCF of 26 and 91 is –
उत्तर: (C) 13
(ii) द्विघात समीकरण x² + 7x + 10 = 0 में मूलों का योग होगा –
Sum of the roots in the quadratic equation x² + 7x + 10 = 0 is –
उत्तर: (D) −7
(iii) यदि x + y = 10 और x − y = 6 हो, तो x व y के मान होंगे –
If x + y = 10 and x − y = 6, then the value of x and y is –
उत्तर: (A) x = 8, y = 2
(iv) द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में विविक्तांक (D) ज्ञात करने का सूत्र है –
Formula to find discriminant (D) in quadratic equation ax² + bx + c = 0 is –
उत्तर: (B) b² − 4ac
(v) A.P. 7, 13, 19, 25, … का 12वाँ पद होगा –
12th term of the A.P. 7, 13, 19, 25, … is –
उत्तर: (C) 73
(vi) दिए गए चित्र में यदि DE ∥ BC है, तो x का मान होगा –
In the given figure, if DE ∥ BC then value of x is –
उत्तर: (चित्र के अनुसार समान त्रिभुज से निकालें – यहाँ हल की जगह दी गई है।)
(vii) वृत्त का व्यास AB है तथा A(3, −10) व B(1, 4) हैं, तो वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक होंगे –
If AB is a diameter of a circle and A(3, −10), B(1, 4), then the coordinates of centre of the circle are –
उत्तर: (A) (2, −3)
(viii) sin 60° का मान है –
Value of sin 60° is –
उत्तर: (D) √3 / 2
(ix) 10 मीटर ऊँचे एक वृक्ष की छाया 10√3 मीटर लम्बी है, तो सूर्य का उन्नतांश कोण होगा –
If a shadow of 10 m high tree is 10√3 m long, then the elevation angle of sun is –
उत्तर: (B) 60°
(x) वृत्त के किसी एक बाहरी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या होगी –
The number of tangents drawn from an external point to the circle is –
उत्तर: (B) दो (Two)
(xi) त्रिज्या r वाले वृत्त के त्रिज्याखण्ड (sector) का क्षेत्रफल जो केन्द्र पर θ कोण बनाता है –
The area of a sector of a circle with radius r which makes angle θ at the centre is –
उत्तर: (B) πr² × θ / 360°
(xii) 3 से.मी. त्रिज्या वाले गोले का आयतन है –
Volume of a sphere of radius 3 cm is –
उत्तर: (C) 36π
V = (4/3) π r³ = (4/3) π × 27 = 36π
V = (4/3) π r³ = (4/3) π × 27 = 36π
(xiii) बेलन जिसके त्रिज्या r व ऊँचाई h है, उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है –
Formula to find the curved surface area of a cylinder whose radius is r and height is h –
उत्तर: (B) 2πrh
(xiv) एक पासे को फेंकने पर 6 अंक आने की प्रायिकता है –
Probability of getting 6 when a die is thrown –
उत्तर: (D) 1/6
(xv) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 का माध्य होगा –
The mean of 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 is –
उत्तर: (C) 9
प्र.2 रिक्त स्थानों की पूर्ति करें / Fill in the blanks (प्रत्येक 1 अंक)
(i) रेखाएँ a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 में यदि
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो रेखाओं के ________ हल होंगे।
If a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, then the lines have ________ solutions.
उत्तर: अनन्त हल / infinitely many solutions
(ii) किसी वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर ________ होती है।
The tangent at any point of a circle is ________ to the radius through the point of contact.
उत्तर: लम्ब / perpendicular
(iii) घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 1 मिनट में बनाया गया कोण ________ होता है।
The angle subtended by the minute hand of a watch in one minute is ________.
उत्तर: 6°
(iv) शंकु का आयतन ________ होता है।
Volume of cone is ________.
उत्तर: (1/3) π r² h
(v) किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ आपस में ________ होती हैं।
The tangents drawn at the ends of a diameter of a circle are ________.
उत्तर: समानांतर / parallel
(vi) 3 × माध्यक = बहुलक + ________ × माध्य
3 × Median = Mode + ________ × Mean
उत्तर: 2
Empirical relation: Mode = 3Median − 2Mean
Empirical relation: Mode = 3Median − 2Mean
खण्ड – ब / Section – B
प्र.3 अति लघुत्तरात्मक प्रश्न / Very short answer type questions (प्रत्येक 1 अंक)
(i) 3825 के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
Find the prime factors of 3825.
उत्तर: 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17
(ii) द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि मूलों का योग −3 व मूलों का गुणनफल 2 है।
Find the quadratic equation, if the sum of roots is −3 and product of the roots is 2.
उत्तर:
मान लें समीकरण x² + px + q = 0
Sum of roots = −p = −3 ⇒ p = 3
Product of roots = q = 2
अतः समीकरण: x² + 3x + 2 = 0
(iii) A.P. 3, 8, 13, 18, … का कौन-सा पद 78 है?
Which term of the A.P. 3, 8, 13, 18, … is 78?
उत्तर:
a = 3, d = 5
aₙ = a + (n−1)d = 3 + (n−1)×5 = 5n − 2
5n − 2 = 78 ⇒ 5n = 80 ⇒ n = 16
अतः 16वाँ पद 78 है।
(iv) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° का मान बताइए।
Find the value of sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°.
उत्तर:
sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2
sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2
⇒ sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
= (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1
(v) भूमि के एक बिन्दु से जो मीनार के पाद बिन्दु से 30 मी. की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
The angle of elevation of the top of a tower from a point on the ground, which is 30 m away from the foot of the tower is 30°. Find the height of the tower.
उत्तर:
मान लें ऊँचाई = h, दूरी = 30 m
tan 30° = h / 30 ⇒ 1/√3 = h / 30
⇒ h = 30 / √3 = 10√3 m
प्र.4 से 12 लघुत्तरात्मक प्रश्न / Short answer type questions (प्रत्येक 2 अंक)
प्र.4. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
Prove that 3 + 2√5 is an irrational number.
संकेतात्मक उत्तर:
मान लें 3 + 2√5 परिमेय है ⇒ किसी p/q के बराबर है।
तब 2√5 = (p/q) − 3 ⇒ √5 = (p − 3q)/(2q) जो परिमेय हो जाएगा,
परन्तु √5 ज्ञात अपरिमेय है। विरोधाभास होने से 3 + 2√5 अपरिमेय है।
प्र.5. x² − 2x − 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
Find the zeroes of the polynomial x² − 2x − 8 and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.
उत्तर:
x² − 2x − 8 = 0 ⇒ (x − 4)(x + 2) = 0
⇒ शून्यक: 4 और −2
Sum of zeroes = 4 + (−2) = 2 = −(coefficient of x)/coefficient of x² = −(−2)/1 Product = 4 × (−2) = −8 = constant term / coefficient of x² = −8/1 अतः संबंध सत्य है।
Sum of zeroes = 4 + (−2) = 2 = −(coefficient of x)/coefficient of x² = −(−2)/1 Product = 4 × (−2) = −8 = constant term / coefficient of x² = −8/1 अतः संबंध सत्य है।
प्र.6. दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है, उन्हें ज्ञात कीजिए।
The larger of two supplementary angles exceeds the smaller by 18°. Find them.
उत्तर:
मान लें छोटा कोण = x°, बड़ा = x + 18°
x + (x + 18) = 180 ⇒ 2x + 18 = 180
2x = 162 ⇒ x = 81°
बड़ा कोण = 81 + 18 = 99°
अतः कोण 81° और 99° हैं।
प्र.7. दिए गए चित्र में यदि LM ∥ CB और LN ∥ CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD.
In the given figure if LM ∥ CB and LN ∥ CD, then prove that AM/AB = AN/AD.
संकेत:
LM ∥ CB ⇒ ΔAML ~ ΔABC ⇒ AM/AB = AL/AC
LN ∥ CD ⇒ ΔANL ~ ΔADC ⇒ AN/AD = AL/AC
⇒ AM/AB = AL/AC = AN/AD
अतः AM/AB = AN/AD सिद्ध हो गया।
प्र.8. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (4, −3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को आंतरिक रूप से 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
Find the coordinates of the point which divides the line segment joining the points (4, −3) and (8, 5) in the ratio 3 : 1 internally.
उत्तर:
मान लें P(x, y) बिन्दु है जो (4, −3) और (8, 5) को 3:1 में विभाजित करता है,
A(4, −3), B(8, 5), AP:PB = 3:1
x = (3×8 + 1×4) / (3 + 1) = (24 + 4)/4 = 28/4 = 7 y = (3×5 + 1×(−3)) / 4 = (15 − 3)/4 = 12/4 = 3 अतः बिन्दु (7, 3) है।
x = (3×8 + 1×4) / (3 + 1) = (24 + 4)/4 = 28/4 = 7 y = (3×5 + 1×(−3)) / 4 = (15 − 3)/4 = 12/4 = 3 अतः बिन्दु (7, 3) है।
प्र.9. भूमि के एक बिन्दु से एक 20 मी. ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
From a point on the ground, the angles of elevation of the bottom and the top of a transmission tower fixed at the top of a 20 m high building are 45° and 60° respectively. Find the height of the tower.
उत्तर:
मान लें भवन की ऊँचाई = 20 m, टावर की ऊँचाई = h m, दूरी = x m
tan 45° = 20/x ⇒ 1 = 20/x ⇒ x = 20 m
tan 60° = (20 + h)/x ⇒ √3 = (20 + h)/20 ⇒ 20√3 = 20 + h ⇒ h = 20(√3 − 1) m
tan 45° = 20/x ⇒ 1 = 20/x ⇒ x = 20 m
tan 60° = (20 + h)/x ⇒ √3 = (20 + h)/20 ⇒ 20√3 = 20 + h ⇒ h = 20(√3 − 1) m
प्र.10. 21 से.मी. त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अंतरित करता है तो चाप द्वारा बनाया गये त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
In a circle of radius 21 cm, an arc subtends an angle of 60° at the centre. Find the area of sector formed by the arc.
उत्तर:
r = 21 cm, θ = 60°
Sector area = (θ/360) × πr² = (60/360) × π × 21²
= (1/6) × π × 441 = 73.5π cm²
प्र.11. एक ठोस अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है, जिनकी त्रिज्याएँ 1 से.मी. हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
A solid is in the shape of a cone standing on a hemisphere with both their radii being equal to 1 cm and the height of the cone is equal to its radius. Find the volume of the solid in terms of π.
उत्तर:
r = 1 cm, h (cone) = 1 cm
V(cone) = (1/3) π r² h = (1/3) π × 1 × 1 = (1/3) π
V(hemisphere) = (2/3) π r³ = (2/3) π × 1 = (2/3) π
कुल आयतन = (1/3)π + (2/3)π = π cm³
V(cone) = (1/3) π r² h = (1/3) π × 1 × 1 = (1/3) π
V(hemisphere) = (2/3) π r³ = (2/3) π × 1 = (2/3) π
कुल आयतन = (1/3)π + (2/3)π = π cm³
प्र.12. निम्नलिखित बारम्बारता का माध्य ज्ञात कीजिए –
Find the mean of the following frequency distribution:
| साक्षरता दर (%) Literacy rate (%) |
45–55 | 55–65 | 65–75 | 75–85 | 85–95 |
|---|---|---|---|---|---|
| नगरों की संख्या No. of cities |
3 | 10 | 11 | 8 | 3 |
उत्तर:
वर्ग-मध्य (midpoints): 50, 60, 70, 80, 90
Σfx = 50×3 + 60×10 + 70×11 + 80×8 + 90×3 = 150 + 600 + 770 + 640 + 270 = 2430
Σf = 3 + 10 + 11 + 8 + 3 = 35
Mean = Σfx / Σf = 2430 / 35 ≈ 69.43
अतः माध्य ≈ 69.43
वर्ग-मध्य (midpoints): 50, 60, 70, 80, 90
Σfx = 50×3 + 60×10 + 70×11 + 80×8 + 90×3 = 150 + 600 + 770 + 640 + 270 = 2430
Σf = 3 + 10 + 11 + 8 + 3 = 35
Mean = Σfx / Σf = 2430 / 35 ≈ 69.43
अतः माध्य ≈ 69.43
प्र.13 लघु उत्तरात्मक प्रश्न (2 अंक)
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस बैग में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है।
A bag contains 3 red balls and 5 black balls. A ball is drawn at random from the bag. What is the probability that the ball drawn is (i) red (ii) not red?
उत्तर:
कुल गेंदें = 3 + 5 = 8
(i) P(लाल) = 3/8
(ii) P(लाल नहीं) = 5/8
कुल गेंदें = 3 + 5 = 8
(i) P(लाल) = 3/8
(ii) P(लाल नहीं) = 5/8
प्र.14–17 दीर्घ उत्तरात्मक प्रश्न / Long answer type questions (प्रत्येक 3 अंक)
प्र.14. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
Find the 31st term of an A.P., whose 11th term is 38 and the 16th term is 73.
उत्तर:
a₁₁ = a + 10d = 38 a₁₆ = a + 15d = 73 घटाने पर: 5d = 35 ⇒ d = 7
a = 38 − 10×7 = 38 − 70 = −32
a₃₁ = a + 30d = −32 + 210 = 178
अतः 31वाँ पद = 178
a₁₁ = a + 10d = 38 a₁₆ = a + 15d = 73 घटाने पर: 5d = 35 ⇒ d = 7
a = 38 − 10×7 = 38 − 70 = −32
a₃₁ = a + 30d = −32 + 210 = 178
अतः 31वाँ पद = 178
प्र.15. उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष पर है तथा (2, −5) और (−2, 9) से समान दूरी पर स्थित है।
Find the point on the x-axis which is equidistant from (2, −5) and (−2, 9).
उत्तर:
मान लें बिन्दु (x, 0) है। (x − 2)² + (0 + 5)² = (x + 2)² + (0 − 9)²
(x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81
x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
x² − 4x + 29 = x² + 4x + 85
−4x + 29 = 4x + 85 ⇒ −8x = 56 ⇒ x = −7
अतः बिन्दु (−7, 0) है।
मान लें बिन्दु (x, 0) है। (x − 2)² + (0 + 5)² = (x + 2)² + (0 − 9)²
(x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81
x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
x² − 4x + 29 = x² + 4x + 85
−4x + 29 = 4x + 85 ⇒ −8x = 56 ⇒ x = −7
अतः बिन्दु (−7, 0) है।
प्र.16. सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
Prove that the lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal.
उत्तर:
मान लें O वृत्त का केन्द्र, P बाह्य बिन्दु, PA व PB स्पर्श रेखाएँ हैं। OA = OB (त्रिज्याएँ), OP = OP (सामान्य भुजा), ∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या पर स्पर्श रेखा लम्ब होती है) ⇒ ΔOAP ≅ ΔOBP (RHS)
⇒ PA = PB (समतुल्य भुजाएँ)
अतः दोनों स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर हैं।
मान लें O वृत्त का केन्द्र, P बाह्य बिन्दु, PA व PB स्पर्श रेखाएँ हैं। OA = OB (त्रिज्याएँ), OP = OP (सामान्य भुजा), ∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या पर स्पर्श रेखा लम्ब होती है) ⇒ ΔOAP ≅ ΔOBP (RHS)
⇒ PA = PB (समतुल्य भुजाएँ)
अतः दोनों स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर हैं।
प्र.17. निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का बहुलक ज्ञात कीजिए –
Find the mode of the following frequency distribution:
| वर्ग (Class) | 0–20 | 20–40 | 40–60 | 60–80 | 80–100 | 100–120 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| आवृत्ति (Frequency) | 10 | 35 | 52 | 61 | 38 | 29 |
उत्तर:
Modal class = 60–80, l = 60, h = 20, f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 29
Mode = l + (f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂) × h = 60 + (61 − 52) / (122 − 52 − 29) × 20 = 60 + 9 / 41 × 20 ≈ 60 + 4.39 = 64.39 (approximately)
अतः बहुलक ≈ 64.39
Modal class = 60–80, l = 60, h = 20, f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 29
Mode = l + (f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂) × h = 60 + (61 − 52) / (122 − 52 − 29) × 20 = 60 + 9 / 41 × 20 ≈ 60 + 4.39 = 64.39 (approximately)
अतः बहुलक ≈ 64.39
खण्ड – स / Section – C
प्र.18–20 निबन्धात्मक प्रश्न / Essay type questions (प्रत्येक 4 अंक)
प्र.18. निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक मूल अस्तित्व में हों, तो उन्हें ज्ञात कीजिए –
Find the nature of the roots of the quadratic equation 2x² − 6x + 3 = 0. If the real roots exist, then find them.
उत्तर:
a = 2, b = −6, c = 3
D = b² − 4ac = (−6)² − 4×2×3 = 36 − 24 = 12 (> 0)
अतः दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
x = [−b ± √D] / 2a = [6 ± √12] / 4 = [6 ± 2√3] / 4 = (3 ± √3)/2
a = 2, b = −6, c = 3
D = b² − 4ac = (−6)² − 4×2×3 = 36 − 24 = 12 (> 0)
अतः दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
x = [−b ± √D] / 2a = [6 ± √12] / 4 = [6 ± 2√3] / 4 = (3 ± √3)/2
अथवा / OR
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 से.मी. कम है। यदि कर्ण 13 से.मी. का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए। The altitude of a right triangle is 7 cm less than its base. If the hypotenuse is 13 cm, then find the other two sides.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 से.मी. कम है। यदि कर्ण 13 से.मी. का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए। The altitude of a right triangle is 7 cm less than its base. If the hypotenuse is 13 cm, then find the other two sides.
उत्तर:
आधार = b, ऊँचाई = b − 7
b² + (b − 7)² = 13²
b² + b² − 14b + 49 = 169 ⇒ 2b² − 14b − 120 = 0 b² − 7b − 60 = 0 ⇒ (b − 12)(b + 5) = 0 ⇒ b = 12 (धनात्मक)
ऊँचाई = 12 − 7 = 5
अतः भुजाएँ 12 से.मी. और 5 से.मी. हैं।
आधार = b, ऊँचाई = b − 7
b² + (b − 7)² = 13²
b² + b² − 14b + 49 = 169 ⇒ 2b² − 14b − 120 = 0 b² − 7b − 60 = 0 ⇒ (b − 12)(b + 5) = 0 ⇒ b = 12 (धनात्मक)
ऊँचाई = 12 − 7 = 5
अतः भुजाएँ 12 से.मी. और 5 से.मी. हैं।
प्र.19. सिद्ध कीजिए / Prove that
(1 − sin A) / (1 + sin A) = (sec A − tan A)²
(1 − sin A) / (1 + sin A) = (sec A − tan A)²
उत्तर:
LHS = (1 − sin A)/(1 + sin A)
अंश व हर दोनों को (1 − sin A) से गुणा करें:
= (1 − sin A)² / (1 − sin²A) = (1 − 2sin A + sin²A) / cos²A
= sec²A − 2secA·tanA + tan²A = (sec A − tan A)² = RHS अतः पहचान सिद्ध।
LHS = (1 − sin A)/(1 + sin A)
अंश व हर दोनों को (1 − sin A) से गुणा करें:
= (1 − sin A)² / (1 − sin²A) = (1 − 2sin A + sin²A) / cos²A
= sec²A − 2secA·tanA + tan²A = (sec A − tan A)² = RHS अतः पहचान सिद्ध।
प्र.20. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए –
Find the median of the following frequency distribution:
| Class | 65–85 | 85–105 | 105–125 | 125–145 | 145–165 | 165–185 | 185–205 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequency | 4 | 5 | 13 | 20 | 14 | 8 | 4 |
उत्तर:
N = 4 + 5 + 13 + 20 + 14 + 8 + 4 = 68
N/2 = 34 ⇒ माध्यक वर्ग 125–145 (क्योंकि संचयी आवृत्ति यहाँ 42 है)
l = 125, h = 20, f = 20, cf = 22
Median = l + [(N/2 − cf)/f] × h = 125 + [(34 − 22)/20] × 20 = 125 + 12 = 137
अतः माध्यक ≈ 137
N = 4 + 5 + 13 + 20 + 14 + 8 + 4 = 68
N/2 = 34 ⇒ माध्यक वर्ग 125–145 (क्योंकि संचयी आवृत्ति यहाँ 42 है)
l = 125, h = 20, f = 20, cf = 22
Median = l + [(N/2 − cf)/f] × h = 125 + [(34 − 22)/20] × 20 = 125 + 12 = 137
अतः माध्यक ≈ 137
अथवा / OR
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए – Find the mean of the following frequency distribution:
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए – Find the mean of the following frequency distribution:
| Class | 500–520 | 520–540 | 540–560 | 560–580 | 580–600 |
|---|---|---|---|---|---|
| Frequency | 12 | 14 | 8 | 6 | 10 |
उत्तर (सही किया गया):
वर्ग-मध्य: 510, 530, 550, 570, 590
Σfx = 510×12 + 530×14 + 550×8 + 570×6 + 590×10
= 6120 + 7420 + 4400 + 3420 + 5900 = 27,260
Σf = 12 + 14 + 8 + 6 + 10 = 50
Mean = Σfx / Σf = 27,260 / 50 = 545.2
अतः माध्य ≈ 545.2
वर्ग-मध्य: 510, 530, 550, 570, 590
Σfx = 510×12 + 530×14 + 550×8 + 570×6 + 590×10
= 6120 + 7420 + 4400 + 3420 + 5900 = 27,260
Σf = 12 + 14 + 8 + 6 + 10 = 50
Mean = Σfx / Σf = 27,260 / 50 = 545.2
अतः माध्य ≈ 545.2
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